zeta function - Turing のブログ

zeta function の値は分数の無限級数なので、nの値が偶数、奇数は無関係で、必ず無理数であり、

$ζ (2)=$

$\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)$

= 68/25

$\zeta (3)$ $=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\ldots$

$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {1}{n^{{2}}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

は、間違った三角関数の公式に頼ったものであり、値も又、誤りである。

一般に zeta function の値は、n が偶数、 $ζ (2)=$ 68/25 を超える事は無くn=3以下は、6/5以下である。

s ≥ 3 の時

$\zeta (s)=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{1}{n^s}$ ≤ $\zeta (s)=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{1}{n^s}$ （n=10）

　T.theodor