Rational function

　　 $f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}$

　f(x) $=$ $cx-d / ax-b$

x $= d / c$ ，y $= 0$

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

$c = d / b$

$L=$ ∞ ，－∞ $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ $\lim _{{x\to -\infty }}f(x)=L$

$ax-b$ $> cx- d$

$L$ $=$ ∞ ，－∞

$ax-b$ $< cx- d$

$L$ $= 0$

asymptote $y$ $= px- q$

　　　　　 $x = d / b$

f(x) $=$ $ex-f /((ax-b)(cx-d)$

x $=$ $f / e$ ，y $= 0$

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

$c =$ $b / a$ ， $d / b$

$L=$ ∞ ，－∞ $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ $\lim _{{x\to -\infty }}f(x)=L$

$L$ $= 0$

asymptote $y$ $= px- q$

　　　　　　 $x =$ $b / a$ ， $d / b$

　f(x) $=$ $(cx-d)(ex-f) / ax-b$

x $= d / c$ ， $f / e$ ，y $= 0$

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

$c = b / a$

$L =$ ∞ ，－∞ $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$

$\lim _{{x\to -\infty }}f(x)=L$

$L$ $=$ ∞ ，－∞

asymptote $y$ $= px- q$

$x$ $= b / a$

　f’(x) $=$ $(γx-δ)(εx-ζ) / (αx-β) 2$

vertex $(γ / δ$ ， $(γc-δd)(γe-δf) / γa-δb$ ) $，$ $(ζ / ε$ ， $(ζc-εd)(ζe-εf) /せ ζa-εb$ )

　f(x) $=$ $(ex-f)(gx-h) / (ax-b)(cx-d)$

x $= f /eed e$ ， $h / g$ ，y $= 0$

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

$c = b / a$ ， $d / c$

$L =$ ∞ ，－∞ $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ $\lim _{{x\to -\infty }}f(x)=L$

$(ax-b)(cx-d) > (ex-f)(gx-h)$

$/ (ax-$ $L$ $= 0$

$(ax-b)(cx-d) < (ex-f)(gx-h)$

$/ (ax-$ $L$ $=$ ∞ ，－∞

asymptote $y$ $= px- q$

　 $x$ $= b / a$ ， $d / c$

T.theodor 2022.6.26